Como integrar Trig Poderes

O teorema fundamental do Cálculo Integral teve seus primórdios no século III aC quando Archimedes desenvolveu uma maneira de determinar áreas. Levaria mais dois mil anos antes de Newton e Leibniz publicou os primeiros desenvolvimentos sistemáticos de cálculo. Este grande intervalo de tempo foi devido, em grande parte, à complexidade do método original Arquimedes. Progresso significativo só foi alcançada quando um método muito mais simples de integração entrou em cena . Isso surgiu com o desenvolvimento de um produto derivado e a descoberta da relação entre o derivado e o integral . Professor de Sir Isaac Newton, Inglês matemático Isaac Barrow , foi o primeiro a reconhecer a relação entre a derivada ea integral . O teorema fundamental do Cálculo Integral é a base para o mundo da engenharia. Ele fez a maior parte do progresso do mundo moderno possível. Instruções

Rever os Fundamentos

1

Estude as definições dos seis Integrais trigonométricas comuns. Estar familiarizado com estes irão poupar tempo ao integrar funções trigonométricas. Se u é uma função de x, então:

O integrante (sin u · u ‘ dx ) = a integral de (sin u du ) = ‘ cos u + C

A integrante de (cos u · u ‘ dx ) = integral de (cos u du ) = sen u + C

o integrante do ( s ^ 2 u · u’ dx ) = integral de ( seg ^ 2 u du ) = tan u + C

o integrante ( csc ^ 2 u · u ‘ dx ) = a integral de ( csc ^ 2 u du ) =’ berço u + C

o integrante ( seg u tan u · u ‘ dx ) = a integral de ( seg u tan u du ) = sec u + C

o integrante ( csc u berço u · u ‘ dx ) = a integral de ( csc u berço u du ) =’ csc u + C

Onde: pecado = seno, cos = cosseno , sec = secante , csc = cosecant , tan = tangente , berço = cotangente

2

Saiba as propriedades de integral indefinida . Sabendo dessas propriedades pode ajudar na resolução de uma integração de um integrante trigonométricas, uma simples substituição de parte de um problema ou a solução inteira pode resultar . Se u ( x) e v ( x) são integráveis ​​, então:

O integrante do x ^ n dx = [ x ​​^ (n +1) /(n + 1 )] + C (n não é igual a -1 )

o intergral de cV ( x ) dx = c vezes a integral de v ( x ) dx , onde c é uma constante

o integrante do [u (x) + v ( x) ] dx = integral de u ( x ) dx + a integral de v ( x ) dx

3

Estudar o básico trigonométricas identidades para se familiarizar com estas definições . Reconhecê-los é fundamental na resolução de integrais trigonométricas. Listados aqui são os mais comuns 12. Uma lista exaustiva pode ser encontrada em um livro de texto de cálculo. Consulte a Seção de Recursos deste artigo para um tal texto.

Tan x = sen x /cos x

berço x = cos x /sen x

sec x = 1 /cos x

csc x = 1 /sen x

sin ^ 2 x + cos ^ 2 x = 1

tan ^ 2 x + 1 = seg ^ 2 x

1 + cot ^ 2x = csc ^ 2 x

sin ^ 2 x = 1/2 ( 1 – cos 2x)

pecado 2x = 2 sen x cos x

cos ^ 2 x = (cos 2x + 1 ) /2

bronzeado 2x = (2 x tan /1 – tan ^ 2 x

cos ^ 2 x = 1/2 ( 1 + cos 2x)

Integração por uso de fórmulas derivadas

4

Considere a integral a ser avaliada. Este é o primeiro passo para avaliar ou resolver qualquer integração trigonométricas . Observe a forma ea função trigonométrica da integral a ser avaliada. Esta etapa irá levar para a abordagem a utilizar para a solução.

5

Determine se a integral a ser avaliado é em da mesma forma que qualquer uma das formas derivadas . para fazer isso , comparar o integral dada a ser resolvido com as formas derivadas . Se ele é da mesma forma que qualquer um dos derivados integrais , simplesmente substituir . Por exemplo , para determinar a integral do pecado x dx, olhar para a lista ou chame as definições , e se perguntar se esta integral já foi derivada. Olhando para a lista de definições revela que sen x dx está definida. A partir da definição , escreva ” a integral de sen x dx = – cos x + C. ”

6

Manipular a expressão dada , se possível, alcançar uma forma derivada, se não é dado diretamente. Por exemplo, para avaliar a integral de x cos x ^ 2 dx, de recall da lista de definições de integrais trigonométricas que a integral de cos uu ‘ dx = integral de cos u du , que é igual a pecado u + C. No exemplo , u é igual a x ^ 2 e u ‘é igual a 2x. Lembre-se que u ‘ é definida como a derivada de u. Para uma explicação completa sobre o teorema fundamental do cálculo e derivados, ver o texto cálculo observado na seção de Recursos deste artigo. A equação deve ser manipulada para se livrar do 2 no 2x porque não aparecem na definição dada . Para fazer isso , multiplica ambos os lados da parte integrante , até 1 /2. Fazer isso não altera o valor da expressão , mas alcança a forma correta .

Esta expressão torna-se ” a integral de x cos x ^ 2 dx = 1/2 vezes a integral de ( 1/2) 2x cos x ^ 2 dx ” ou” a integral de x cos x ^ 2 dx = 1/2 vezes a integral de x cos x ^ 2 dx “.

7

Resolver o resultando integrante utilizando o derivado formulário. O exemplo produz ” a integral de x cos x ^ 2 dx = 1/2 vezes a integral de x cos x ^ 2 dx “. A partir da lista de definições de integrais trigonométricas , se u é uma função de x, então:

a integral de cos uu ‘ dx = integral de cos u du

a integral de cos u du = sen u + C.

Usando a forma derivada resolver a equação :

a integral de x cos x ^ 2 dx = 1/2 sen x ^ 2 + C.

integrais da forma : o integrante do pecado ^ ^ cos mu nuu ‘ dx

8

Avaliar o pecado integrante ^ 2 x ^ 3 cos x dx . Note-se que é da forma pecado ^ ^ mu cos nuu ‘ dx . Integrais desta forma são definidos como ” a integral de pecado ^ ^ cos mu nuu ‘ dx = integral de pecado ^ ^ cos mu nu du “. Da

Defina o ” m ” e “n” . Neste exemplo , o expoente na posição m é 2 e o expoente na posição n é 3 .

9

Determinar se n é um número inteiro positivo par ou se m é um número inteiro positivo ou se impar m e n são ambos números inteiros positivos mesmo . Neste exemplo, n = 3 e m = 2 . Portanto n é um número inteiro positivo ímpar . Se m fosse um inteiro positivo ímpar , bem como, a expressão poderia ser reescrita com (m – 1) como o expoente no lugar de m . Por exemplo , se m 3 foram , em seguida, ( 3 – 1 ) ou 2 seria o novo expoente para a m e o termo identidade trigonométrica usado seria : sen ^ 2 u = 1 – cos ^ 2 u . Se m e n são ambos números inteiros positivos mesmo usar as identidades . ” Sin ^ 2 x = ( 1 – cos 2x ) /2 e cos ^ 2 x = ( 1 + cos 2x ) /2 “, para obter potências ímpares do cosseno

10

Reescreva a expressão como ” cos sin ^ ^ mu nu = cos sin ^ mu ^ ( n -1) u cos u. ” Especificamente, escrever

“pecado ^ 2 x cos ^ (3 – 1) x = sin ^ 2 x ^ 2 cos x cos x dx “.

11

Use as cos de identidade ^ 2 x = 1 – sen ^ 2 x para obter a expressão na forma correta. Usando o exemplo :

o integrante do pecado ^ 2 x cos ^ 3 x dx = integral de sin ^ 2 x ^ 2 cos x cos x dx

o integrante do pecado ^ 2 x cos ^ 2 x cos x dx = integral de sin ^ 2 x ( 1 – sin ^ 2 x) cos x dx

o integrante do pecado ^ 2 x ( 1 – sin ^ 2 x) cos x dx = integral de (sin ^ 2 x – sin ^ 4 x ) cos x dx

a integral de (sin ^ 2 x – sin ^ 4 x ) cos x dx = [ (sin ^ 3 x) /3] – [ (sin ^ 5 x) /5 ] + C.

trigonométricas Substituições

12

Lembre-se das substituições mais comuns :

Forma: ( 2 – a ^ u ^ 2 ) ^ ( 1/2 ); Substituição : u = a sen x; Identidade : cos ^ 2 x = 1 – sin ^ 2 x

Forma: (a ^ 2 + u ^ 2) ^ (1/2); Substituição : u = a tan x; Identidade : seg ^ 2 x = 1 + tan ^ 2 x

Forma: ( u ^ 2 – a ^ 2 ) ^ ( 1/2); Substituição : u = a sec x; Identidade : tan ^ 2 x = sec ^ 2 x – 1

13

Avaliar a expressão dada . Por exemplo , calcular o integral de 0 a 3 de ( 9 – x ^ 2 ) ^ ( 1/2 ) dx . Esta expressão é da forma ( a ^ 2 – u ^ 2 ) ^ 1/2 de modo que a substituição irá ser u = a sin x e a identidade usada será cos ^ 2 x = 1 – sin ^ 2 x . Neste caso , a = 3 por 3 ^ 2 = 9 .

14

fazer a substituição . Como o intervalo vai de zero a três começar por fazer a substituição de x = 3 sen @ para a equação original . Isso produz : dx = 3 cos @ d @ . Porque o integrante vai de 0 a 3 considerar quando x = 0 , o pecado @ = 0 e @ = 0 quando x = 3 , o pecado @ = 1 e @ = (3,14 ) /2.

15

resolver o Integral. Por exemplo , o integral de 0 a 3 de ( 9 – x ^ 2 ) ^ ( 1/2 ) dx =

o integral de 0 a ( 3,14 ) /2 de ( 9-9 sin ^ 2 @ ) ^ ( 1/2 ) 3 cos @ d @

= Integral de 0 a ( 3.14 /2) do 9 cos ^ 2 @ d @

= 9/2 vezes a Integral de 0 a ( 3,14 ) /2 de ( 1 + cos 2 @ ) d @ .

= 9/2 ( @ + ( 1/2 ) sen 2 @ ) a partir de 0 a ( 3,14 ) /2

= 9/2 [ (3,14 ) /2 + 1/2 sen @ ) – ( 0 + 1/2 sen 0) ]

= (9 (3,14 )) /4