Como saber se dois pontos estão no mesmo lado de um plano

Euclides e sua grande obra, ” Elements ” vem à mente quando se considera a geometria. É o mais antigo discussão sistemática da geometria. Devido a isso, Euclides é considerado o pai da geometria. Geometria Euclidiana é o estudo de avião e figuras sólidas com base em axiomas e teoremas derivados e utilizados por Euclides. Ele era o único que ele mostrou como estes teoremas e axiomas poderia caber em um sistema lógico que era ao mesmo tempo abrangente e dedutivo. Sua grande obra começa com geometria plana e engloba álgebra , bem como theory.Things número que você precisa

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Lembre-se que um avião é definido por três pontos não colineares e a forma geral de um avião é , Ax + By + Cz + D = 0 , onde {A, B, C} é um conjunto de números de direção para uma linha normal ou perpendicular ao plano .

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Determine o conjunto de números de direção para a linha normal ao plano . Adicione uma equação em A, B , C e D para cada um dos três pontos indicados. Por exemplo, se determinada pontos P1 ( 1,0,1 ) , P2 ( -1, -2 , 1) e P3 (2, -2,2 ) escrever três equações :

P1 ( 1,0 , 1 ) produz A + C + D = 0

P2 (-1, -2,1 ) rendimentos -A – 2B + C + D = 0

P3 (2 , -2, 2 ) produz 2A – 2B + 2C + D = 0

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Resolva para A, B , C, e D usando álgebra linear. . Vamos P1P2 e P1P3 representar vetores u e v , respectivamente assim :

u = ( -1-1 ) i + ( -2-0 ) j + (1-1) k = – 2i – 2j

v = (2-1) i + ( -2-0 ) j + (2-1) k = i- 2j + k

Desde uev mentira sobre o plano de seu produto cruz é perpendicular ao plano . Resolver rendimentos UXV ,

UXV = [- 2i – 2j ] x [ i- 2j + k] = – 2i + 0j +4 k – 0i +2 j + 2k = – 2i + 2j +6 k

o conjunto dos números de direção perpendicular ao plano é, portanto, { -2 , 2, 6} .

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Escreva a equação do plano usando os números de direção e um dos três pontos dados . Por exemplo, com os números de direção { -2 , 2, 6} e ponto (-1, -2,1 ) escrever , -2 (x + 1) 2 (y +2) + 6 (z – 1) = 0.

-2 ( x + 1) 2 (y +2) + 6 (z – 1) = 0

-2x – 2 +2 y + 4 + 6z – 6 = 0

-2x +2 y + 6z – 4 = 0

– x + y + 3z – 2 = 0

– x + y + 3z = 2

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Ligue os valores do ponto em questão na equação derivada para determinar se ele está no avião. Se ligar o ponto produz uma afirmação verdadeira , o ponto está no mesmo plano. . No exemplo, a equação para o avião – x + y = 2 z 3 Considerando um ponto com as coordenadas , ( 1 , 0 , 1 ) , para determinar se está no mesmo plano em tampão a equação derivada :

-1 + 0 + 3 (1) = 2

-1 + 0 + 3 = 2

2 = 2

Esta é uma afirmação verdadeira , portanto, neste ponto está no mesmo plano.