Aproximação polinomial de funções

Teorema de Taylor fornece uma maneira de aproximar qualquer função com um polinômio . A única exigência é que você tome as derivadas da função e os derivados de todas as derivadas da função . Isso permite que você para avaliar a função e as derivadas da função em um ponto . Notação de função e teorema fatoriais

de Taylor usa notação de função , de modo que descrevem funções como f (x) = x ^ 2 - 3x + 2 em vez de Y = X ^ 2 - . 3X + 2 Esta notação torna mais fácil para descrever vários derivados . Os fatoriais são indicadas com o símbolo de exclamação. Um exemplo é o 5 ! = 5 x 4 x 3 cm x 2 cm x 1 = 120 . Outro exemplo é o 7 ! = 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 5.040 .

Derivados

A derivada de uma função é outra função que descreve como as alterações da função . O valor de um derivado de um ponto dá o declive da linha que é tangente à curva neste ponto. A derivada de um polinômio é encontrado , excluindo o termo constante e fazer essa transformação para cada prazo remanescente , por exemplo , aX ^ n vai para anX ^ (n - 1). Por exemplo , o derivado de X ^ 2 - 3X + 2 é 2X - . 3 Os derivados de polinómios sempre diminuir o grau por um assim , depois de alguns derivados torna-se zero. Outras funções podem ter um número infinito de derivativos. A primeira derivada de f ( x) é denotada f '(x) ea derivada desta é denotada f'' (x) Formula
de Taylor.
< teorema p > de Taylor para a aproximação polinomial de uma função f (x ) = f ( X0 ) + ( f ' - ( ! ( X0 ) /2 ( X0 ) /1 ! ) f'' ) ( X X0 ) + ' ( X - X0 ) ^ 2 + ( f '' ' ( X0 ) /3 ! ) ( X - X 0 ) ^ 3 + e assim por diante . Você pode continuar a série de tantos termos quantos você precisa para obter uma boa aproximação . Se você aproximar um polinômio , ele só vai continuar por alguns termos antes de ir para zero. Com outras funções que ele pode, teoricamente, durar para sempre. Normalmente, apenas alguns termos são necessários para obter uma aproximação muito boa .

Exemplos

Para a aproximação polinomial de Y = Sin X , note que f ( X) = Sin X. f ( X ) = Cos X , f'' ( X ) = X - Sin , e assim por diante . Sin ( X ) = f ( X ) = f ( X0 ) + ( f ' ( X0 ) /1 ! ) ( X - X 0 ) + ( f'' ( X0 ) /2 ! ) ( X - X0 ) ^ 2 + ( f '' ' ( X0 ) /3 ! ) ( X - X 0 ) ^ 3 = sin ( 0 ) + ( Cos ( 0 ) /1 ! ) ( X - 0 ) + ( ! Sin - ( 0 ) /2 ) ( X - 0 ) ^ 2 + ( -Cos ( 0 ) /3 ! ) ( X - 0 ) + e assim por diante = 0 + ( 1/1 ) X + 0 - X ^ 3/3 ! + 0 + X ^ 5/5 ! + 0 e assim por diante = X - X ^ 3/3 ! + X ^ 5/5 ! - X ^ 7/7 ! + E assim por diante . Isso significa que Sin X = X ​​- X ^ 3/3 ! + X ^ 5/5 ! - X ^ 7/7 ! + E assim por diante .