Como encontrar o volume de uma calota esférica Usando Cálculo

A abordagem geral de cálculo para calcular volumes de objetos com superfícies curvas é baseado na principal teoria da integração . Em essência , um corta -se o objecto tridimensional, em fatias cada vez menores , e aproxima-se o volume de cada uma dessas fatias utilizando uma forma mais simples . Para encontrar o volume de uma calota esférica , a formulação mais fácil é imaginar uma pilha de largura, cilindros curtos em cima da outra . O volume é calculado como a altura de cada um destes cilindros vai a zero , gerando mais finos e mais finos approximations.Things você precisa
lápis
paper
calculadora (opcional)
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anotando as
integrante
1

Determine o diâmetro ou o raio de sua calota esférica em sua parte mais larga .
2

Determine a altura da calota esférica .
3

quadratura do número de etapas 1 e 2 , e adicioná-los juntos. Divida esse número por duas vezes o número encontrado no passo 2. Isso lhe dá R , o raio da esfera que a calota esférica foi cortado .
4

Anote " V =" , seguido de o símbolo de integração.
5

Subtraia o número que você encontrou na etapa 2 do R, e escrever esse número na parte inferior do símbolo de integração.
6

Anote o valor de R no topo do símbolo de integração.
7

Anote pi, seguido por um parênteses, após o símbolo de integração.
8

o quadrado do valor de R , e escreve que depois do parêntese , seguido por um sinal de menos.
9

Anote "x ^ 2" , seguido pelo parêntese de fechamento. Terminar de escrever o integrante com "dx ".
Avaliando o
integrante 10

Multiply pi no parêntese , produzindo pi * x ^ 2 subtraída uma constante.

11

Avaliar o primeiro termo da integral pela multiplicação da constante pela altura da calota esférica (na verdade, R - um , os dois pontos finais da integral) , e movendo-o fora da integral. A equação agora deve ser na forma de " V = C ( R - a) - [ integral definida de a até R] pi * x ^ 2 dx" , onde C é o quadrado de R vezes pi, e uma é de R menos a altura da tampa esférica
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os restantes avalia integrais para 1/3 * pi * ( R ^ 3 ) - . de 1/3 * pi * (a ^ 3 ) . Assim, a fórmula geral para o volume de uma calota esférica é V = C ( R - A) - 1/3 * pi * ( R ^ 3 ) + 1/3 * pi * (a ^ 3 ) , em que C e uma são , tal como descrito no Passo 2 , e R é como descrito no Passo 3 da secção anterior .
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Substituindo R menos a altura da calota esférica ( " h " ) para um , avaliando os cubos e simplificando os rendimentos V = 1/3 * pi * h ^ 2 * ( 3R - h ), a fórmula algébrica padrão para o volume de uma calota esférica

.