Como encontrar a distância entre dois pontos em uma curva

. Muitos estudantes têm dificuldade em encontrar a distância entre dois pontos em uma linha reta , é mais difícil para eles quando eles têm que saber a distância entre dois pontos ao longo de uma curva < br /> Este artigo , a propósito de um problema exemplo mostrará como encontrar este distance.Things você precisa
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Para saber a distância entre dois pontos a ( x1, y1 ) e B (x2, y2) em uma linha reta no plano xy , usamos a fórmula de distância , o que é ...
d (AB ) = √ [ ( x1 - y1 ) ^ 2 + ( x2 - y2 ) ^ 2 ] . Vamos agora demonstrar como essa fórmula funciona por um problema exemplo . Por favor, clique na imagem para ver como isso é feito.
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Agora vamos saber a distância entre dois pontos A e B em uma curva definida por uma função f ( x) em um intervalo fechado [ ,"a, b ] . Para encontrar essa distância devemos usar a fórmula s = A √ integral, entre o limite inferior, um , eo limite superior , b, do integrando (1 + [f '(x) ] ^ 2) em relação à variável de integração , dx . Por favor, clique sobre a imagem para uma melhor visualização .
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A função que iremos utilizar como um problema exemplo , sobre o intervalo fechado , [1,3] , é ...
f ( x ) = ( 1/2 ) [ ( x 4 ) √ [ ( x 4 ) ^ 2-1 ] ln [ ( x 4 ) + √ [ ( x 4 ) ^ 2 -1 ] ] ] . o derivado desta função , é ...
f ( x ) = √ [ ( x 4 ) ^ 2-1 ] , que agora será quadrado ambos os lados da função do derivado . Isso é [f '(x) ] ^ 2 = [ √ [( x +4) ^ 2-1 ]] ^ 2 , que nos dá
[f ' (x) ] ^ 2 = (x + 4 ) ^ 2 - 1. Vamos agora substituir esta expressão para o comprimento fórmula arc /Integral de , s . . . então Integrar

Por favor, clique na imagem para uma melhor compreensão
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Então por substituição, temos o seguinte :
S = A integral , entre a menor limite , 1 , e o limite superior , 3 , do √ integrando ( 1 + [ f ​​( x ) ] ^ 2 ) = o integrando √ ( 1 + ( x + 4 ) ^ 2 - 1 ) .
que é igual a √ ( ( x + 4 ) ^ 2 ) . Ao realizar a antiderivada neste integrando, e por o teorema fundamental do cálculo , temos ...
{[( x ^ 2 ) /2 ] + 4x } em que primeiro substituir o limite superior , 3 e a partir deste resultado , que Subtrair o resultado da substituição do limite inferior , 1 Ou seja { [ ( 3 ^ 2 ) /2 ] + 4 ( 3 ) } - . { [ ( 1 ^ 2 ) /2 ] + 4 ( 1 ) } o qual é igual a { [ ( 9/2 ) + 12 ] } - { [ ( 1/2 ) + 4 ] } = { ( 33/2 ) - ( 9/2 ) } o qual é igual a ( 24 /2 ) = 12 . Assim, o Arclength /distância da função /curva no intervalo [ 1,3] , seja, 12 unidades.