Como resolver simultâneas Equações Diferenciais

equações diferenciais simultâneas são resolvidas usando uma matriz de coeficientes de criar um problema de valores próprios . Uma vez que os valores próprios são calculados , eles são reintroduzidas as equações simultâneas para determinar a solução geral. A firme conhecimento do cálculo integral é necessária porque você deve primeiro "adivinhar" a forma de uma solução baseada exclusivamente na construção das equações do problema. Por exemplo, você deve ser capaz de ver a equação y '' + ay " + by = 0 e sei que a solução tem a forma de y = e ^ ( lambda * t) .Things Você vai precisar de
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Escrever as equações na forma padrão e criar a matriz de coeficientes . A imagem mostra a matriz dos coeficientes para o seguinte exemplo
y1 . '= 2 * y1 - 4 * y2
y2 ' = 1 * y1 - 3 * y2
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Subtrair o lambda autovalor multiplicado pela matriz de identidade a partir da matriz de coeficientes.
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Calcule a equação de valores próprios para o determinante da matriz recém-formado e defini-la igual a zero.
( 2- lambda ) (- 3 - lambda ) - ( -4 * 1)
-6 + lambda lambda + ^ 2 + 4
lambda lambda ^ 2 + - 2 = 0
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Resolva a equação para determinar os valores próprios
lambda lambda ^ 2 + - 2 = 0
(lambda - 1) (lambda + 2 ) = 0
lambda1 = 1 . ; lambda2 = -2
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Use os valores próprios e da matriz de valores próprios para determinar os autovetores
. ( 2 - lambda ) * x1 - 4 * x2 = 0
x1 = 4x2 ; autovetor é [4 , 1] para lambda = 1
4x1 = 4x2 ; autovetor é [1 , 1] para lambda = -2
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Escreva a solução geral, utilizando os valores e vectores próprios . Para este exemplo , a solução é , sob a forma de y = e ^ ( lambda * t ) e uma vez que esta é a solução geral , constantes arbitrárias , que são uma consequência da integração são introduzidos .
Y1 = 4 * c1 * e ^ t + c2 * e ^ ( - 2t )
y2 = c1 * e ^ t + c2 * e ^ ( - 2t )
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Use as condições iniciais ou de contorno para obter valores para as constantes arbitrárias . Este exemplo é um problema condição inicial . As condições iniciais são y1 (0) = 3 e y2 (0 ) = 0
y1 = 4 * c1 * e ^ 0 + c2 * e ^ ( - 2 * 0) = 4 * c1 + c2 = 3
y2 = c1 * e ^ 0 + c2 * e ^ ( - 2 * 0) = c1 + c2 = 0
4 * c1 = 3 - c2
c1 = c2
4 * ( - c2 ) = 3 - c2 ; c2 = -1
c1 = - ( - 1 ) ; c1 = 1
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Escrever a solução particular , substituindo os valores das constantes de volta para a solução geral :
y1 = 4e ^ t - e ^ ( - 2t )
y2 = e ^ t - e ^ ( - 2t )