Os dois tipos de geometria Não-Euclidiano

Por mais de 2.000 anos , Euclides era a palavra final sobre geometria. Cada matemático a partir de 200 aC até o século 19 começou com estudos Euclides. No século 19 , alguns matemático começou a procurar alternativas para Euclides – geometrias não-euclidianas construídos para descrever as leis da geometria em superfícies curvas . Geometria euclidiana apenas descreve os objetos em uma superfície plana . Um século após a invenção da geometria não-euclidiana , Einstein usou geometria não-euclidiana para descrever um universo relativista . Parallel Lines

geometria de Euclides foi baseado em cinco postulados (pressupostos ) . Os quatro primeiros postulados são simples, claro e lógico . O quinto postulado tem sido sempre um problema. É muito mais complicado do que os quatro primeiros. Pode-se afirmar , em muitos aspectos , mas basicamente diz que linhas paralelas nunca se encontram. Durante séculos , os matemáticos tentaram provar o quinto postulado a partir dos quatro primeiros. No século 19, alguns matemáticos começou uma nova abordagem. Eles olharam para o que aconteceria se os quatro primeiros postulados eram verdadeiras , mas o quinto não era verdade . Suas investigações levaram a geometrias não-euclidianas . As duas formas básicas de geometria não-euclidiana são geometria elíptica – onde linhas paralelas sempre se encontram – . Ea geometria hiperbólica , onde linhas paralelas divergem

elíptico Geometria

Elíptico geometria é a geometria das superfícies com curvatura positiva . Em superfícies com curvatura positiva linhas paralelas sempre se encontram. Outra característica dos espaços com curvatura positiva é que a soma dos ângulos de um triângulo é sempre mais do que 180 graus . Um exemplo importante de uma geometria não é a superfície da terra . Em uma esfera, linhas retas são chamadas de ” grandes círculos . ” Eles são círculos de tamanho máximo que dividem a esfera em hemisférios. Na superfície da Terra , o equador é a única linha de latitude que é um grande círculo. As outras linhas de latitude não são grandes círculos e por isso não “linhas” em geometria não-euclidiana . Todas as linhas de longitude são grandes círculos , por isso são todas as ” linhas ” não-euclidianas e todos eles se encontram em ambos os pólos.

Geometria Hiperbólica

geometria hiperbólica é a geometria de superfícies com curvatura negativa . Geometria Euclidiana é a geometria do espaço sem curvatura de todo. Em superfícies com curvatura negativa linhas paralelas sempre divergem. Outra característica dos espaços com curvatura negativa é que a soma dos ângulos de um triângulo é sempre inferior a 180 graus . Não é tão fácil de encontrar um exemplo real de um espaço hyperboloid embora tenha demonstrado ser auto consistentes para determinados modelos matemáticos abstratos , como o tractricoid .