Como calcular os coeficientes em uma Pade Aproximante

Em matemática , nem sempre é possível obter uma forma limpa, analisável , prático de uma função complicada. No entanto, uma técnica conhecida como a aproximação Taylor permite matemáticos para reescrever tais funções como somas infinitas de termos. Aproximações de Taylor tem uma infinidade de usos, mas ainda existem situações em que as aproximações de Taylor deixam de ser precisos quando truncado. Nestas situações, uma forma diferente de aproximação , conhecida como a aproximante Pade , entra em jogo. Esta forma de aproximação é tão fácil de escrever como uma série de Taylor , mas para escrever completamente um Pade aproximado , você precisa calcular seus coeficientes . Instruções

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Escreva o approximant Pade para a série de Taylor truncada para o qual é representar. O approximant deve estar na forma de sigma ( Ak * x ^ k , para 0 , … , N ) /sigma ( Bk * x ^ k , para 0 , … , M ) . Aqui, ” sigma ” refere-se a notação sigma, que resume os termos dentro. Ak e Bk são os coeficientes da approximant Pade . ” M ” e ” N ” pode ser qualquer número , desde que a conformar-se com a seguinte série de Taylor truncada : . Sigma ( Ck * x ^ k , para 0 , … , M + N )

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Avaliar a approximant Pade . Escrever as funções Sigma em formato longo ( como a adição de termos). Por exemplo , Sigma ( Ak * x ^ k , para 0 , … , 2 ) será A0 + A1 + A2 * x * x ^ 2 . A solução vai ser uma série de somas dividido por uma série de somas ( uma fração , em essência ) .

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Avaliar a série de Taylor . Escreva a função sigma como um problema de adição . Por exemplo , se a série de Taylor truncado para que o approximant Pade corresponde é sigma ( Ck * x ^ k , para 0 , … , 5 ) , escrever C0 + C1 * x + C2 * x ^ 2 , … , C5 * x ^ 5 .

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equiparar o approximant Pade à série de Taylor . Você terá agora uma equação igualando uma fração das verbas a uma série de somas.

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Resolva para os coeficientes Ak . Use álgebra básica . Por exemplo, você deve achar que A0 = C0 e A1 = C1 + C0 * B1.

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Resolva coeficientes Bk numericamente. Usando álgebra, mover o lado direito da equação que iguala o approximant Pade para a série de Taylor para o lado esquerdo da equação . Você vai ficar com uma série de equações que tudo equivale a zero. Esta será uma série de equações lineares que podem ser resolvidos através de métodos da matriz ( para grandes valores de M e N, resolver isso com a mão é intratável , então você deve usar o software de matriz para encontrar os valores numéricos de Bk ) .

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Substitua os valores numéricos de Bk nas soluções coeficiente Ak . Seus coeficientes Ak agora deve ser números e não equações. Neste ponto, você tem todos os coeficientes calculados.