Como resolver Fresnel difração Integrais

em Física de campos de onda , um princípio bem conhecido pelo nome do princípio de Huygens – Fresnel propõe um integrante – a difração de Fresnel integrante – que dá a solução para um campo difratado . Há apenas um problema com este princípio: A integral proposto não é solucionável por meio padrão. A fim de resolver a difração de Fresnel integral, você vai precisar aplicar manipulações complicadas dos termos na integral, simplificando-o . Somente após a simplificação da difração de Fresnel integrante você pode ver claramente a sua solução. Instruções

um

Separe o r01 variável de simplificação. Fatorar o termo z ^ 2 na fórmula para r01 para que ele vem fora da função raiz quadrada . Em resumo , a fórmula original , r01 = sqrt ( z ^ 2 + ( x -ep ) ^ 2 + ( y – et ) ^ 2 ) torna-se r01 = z * sqrt ( 1 + [ ( x -ep ) ^ 2 /z ] + [ (y -et ) ^ 2 /z ] ) .

2

Aplicar expansão binomial para o termo da raiz quadrada. A equação de expansão binomial dá sqrt ( 1 + [ ( x -ep ) ^ 2 /z ] + [ ( y – et ) ^ 2 /z ] ) como uma sequência infinita , 1 + 0,5 * ( EP – x ) ^ 2 /z + 0,5 * (y -et ) ^ 2 /z + ….

3

Substitua a expansão binomial do termo raiz quadrada na equação para r01 . Isto simplifica a r01 = z [ 1 + 0,5 * ( -ep x ) ^ 2 /z + 0,5 * (y -et ) ^ 2 /z + …] .

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Excluir todos os termos a seqüência. A equação para r01 simplifica ainda mais a r01 = z [ 1 + 0,5 * ( x -ep ) ^ 2 /z + 0,5 * (y -et ) ^ 2 /z ] .

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plug r01 na difracção de Fresnel integrante e simplificar . O resultado é U ( x , y ) = exp ( jkz ) /[ J * teta * z ] * Dint [ L ( EP , et ) * exp ( jk { [ x -ep ] ^ 2 + [ y – et ] ^ 2 } /( 2z ) ) ] , em que ” Dint ” refere-se à dupla integral com respeito ao et e ep .

6

Configurar uma função h ( x , y ) que irá ser utilizado como uma parte de uma função de convolução para U ( x , y ) . Seja h ( x , y ) igual exp ( jkz ) /( j * teta * z ) * exp { jk /( 2z ) * [ ( x -ep ) ^ 2 + ( y – et ) ^ 2 ) ] } .

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Substituir todos exp ( jkz ) /( j * theta * z ) * exp { jk /( 2z ) * [ ( -ep x) ^ 2 + (y -et ) ^ 2) ] } valores na difração Fresnal integral com h (x -ep , y -et ) .

8

Reescrever a integral em todo. A versão final, computável da difração de Fresnel é integrante Dint [U (ep , et ) * h (x -ep , y -et ) ] .

9

Use software numérico para calcular a integral. Calcule a integral com as condições de contorno do infinito negativo ao infinito . Por exemplo : em Maple , definir termos internos da integrais como uma função com ” f: = f ( ep, et ) * h (x -ep , y -et ) . ” Certifique-se de inserir os valores numéricos para as variáveis ​​, bem como definir a função h ( x , y ) de um modo semelhante . Em seguida, aplique a integração, com o comando int , como ” int (f, x = -infinito .. infinito) . ”