Como encontrar o volume de uma calota esférica Usando Cálculo

A abordagem geral de cálculo para calcular volumes de objetos com superfícies curvas é baseado na principal teoria da integração . Em essência , um corta -se o objecto tridimensional, em fatias cada vez menores , e aproxima-se o volume de cada uma dessas fatias utilizando uma forma mais simples . Para encontrar o volume de uma calota esférica , a formulação mais fácil é imaginar uma pilha de largura, cilindros curtos em cima da outra . O volume é calculado como a altura de cada um destes cilindros vai a zero , gerando mais finos e mais finos approximations.Things você precisa

lápis

paper

calculadora (opcional)

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anotando as

integrante

1

Determine o diâmetro ou o raio de sua calota esférica em sua parte mais larga .

2

Determine a altura da calota esférica .

3

quadratura do número de etapas 1 e 2 , e adicioná-los juntos. Divida esse número por duas vezes o número encontrado no passo 2. Isso lhe dá R , o raio da esfera que a calota esférica foi cortado .

4

Anote ” V =” , seguido de o símbolo de integração.

5

Subtraia o número que você encontrou na etapa 2 do R, e escrever esse número na parte inferior do símbolo de integração.

6

Anote o valor de R no topo do símbolo de integração.

7

Anote pi, seguido por um parênteses, após o símbolo de integração.

8

o quadrado do valor de R , e escreve que depois do parêntese , seguido por um sinal de menos.

9

Anote “x ^ 2” , seguido pelo parêntese de fechamento. Terminar de escrever o integrante com “dx “.

Avaliando o

integrante 10

Multiply pi no parêntese , produzindo pi * x ^ 2 subtraída uma constante.

11

Avaliar o primeiro termo da integral pela multiplicação da constante pela altura da calota esférica (na verdade, R – um , os dois pontos finais da integral) , e movendo-o fora da integral. A equação agora deve ser na forma de ” V = C ( R – a) – [ integral definida de a até R] pi * x ^ 2 dx” , onde C é o quadrado de R vezes pi, e uma é de R menos a altura da tampa esférica

12

os restantes avalia integrais para 1/3 * pi * ( R ^ 3 ) – . de 1/3 * pi * (a ^ 3 ) . Assim, a fórmula geral para o volume de uma calota esférica é V = C ( R – A) – 1/3 * pi * ( R ^ 3 ) + 1/3 * pi * (a ^ 3 ) , em que C e uma são , tal como descrito no Passo 2 , e R é como descrito no Passo 3 da secção anterior .

13

Substituindo R menos a altura da calota esférica ( ” h ” ) para um , avaliando os cubos e simplificando os rendimentos V = 1/3 * pi * h ^ 2 * ( 3R – h ), a fórmula algébrica padrão para o volume de uma calota esférica

.