Como encontrar concavidade e pontos de inflexão

Funções matemáticas podem ser representados como curvas em um plano cartesiano. Dependendo do formato , uma curva pode ser côncava ou convexa . Os pontos de inflexão são os pontos em que a concavidade da curva muda de cima para baixo , ou vice -versa . Cálculo utiliza o derivado para encontrar a inclinação (inclinação ) de todos os pontos de uma curva eo segundo teste derivado de encontrar a concavidade e pontos de inflexão de uma curva. Instruções

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Anote a equação da curva, em termos de Y e X.

Por exemplo, considere a curva Y = f ( X) = X ^ 2 eo curva Y = g ( X) = sin ( X)

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Calcule as segundas derivadas para as funções

Do nosso exemplo : .

f ( X) = X ^ 2

f ‘( X) = 2x [ primeira derivada ]

f” (x) = 2 [ segunda derivada ]

g ( X) = sin (X )

g ‘( X) = cos ( X ) [ primeira derivada ]

g ” (X) = -sin ( X ) [ segunda derivada ]

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Verifique o valor da segunda derivada no intervalo que você deseja avaliar. Concavidade é encontrada em partes de uma curva de modo que um intervalo é necessário para determinar a concavidade . Se a segunda derivada é maior do que zero ( positivo ) , a curva é côncava para cima . Se a segunda derivada for menor que zero ( negativo ) , a curva é côncava para baixo

Do exemplo :

” f ( X ) = 2; . uma vez que a segunda derivada é 2 , independentemente do valor de X , a curva é côncava para cima ( 2> 0 )

g ” ( X ) = – sin (X ) no intervalo de ] 0 , ( . PI /2) [ eo intervalo ] (PI /2) , PI [

Desde -sin ( X)> 0 no intervalo] 0, (PI /2) [; portanto, a curva é côncava para cima.

Desde -sin ( X )

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Verifique o valor da segunda derivada para zeros. Se a segunda derivada tem um valor igual a zero , em seguida, a curva tem um ponto de inflexão

Do exemplo :

” f ( X ) = 2; . uma vez que a segunda derivada é 2 , independentemente do valor de X , não existem pontos de inflexão na curva.

g ” ( X ) = – sin (X ) no ponto X = 0 .

Desde g ” (0) = -sin ( 0) = 0 , existe um ponto de inflexão em x = 0.