Como resolver simultâneas Equações Diferenciais

equações diferenciais simultâneas são resolvidas usando uma matriz de coeficientes de criar um problema de valores próprios . Uma vez que os valores próprios são calculados , eles são reintroduzidas as equações simultâneas para determinar a solução geral. A firme conhecimento do cálculo integral é necessária porque você deve primeiro “adivinhar” a forma de uma solução baseada exclusivamente na construção das equações do problema. Por exemplo, você deve ser capaz de ver a equação y ” + ay ” + by = 0 e sei que a solução tem a forma de y = e ^ ( lambda * t) .Things Você vai precisar de

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Escrever as equações na forma padrão e criar a matriz de coeficientes . A imagem mostra a matriz dos coeficientes para o seguinte exemplo

y1 . ‘= 2 * y1 – 4 * y2

y2 ‘ = 1 * y1 – 3 * y2

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Subtrair o lambda autovalor multiplicado pela matriz de identidade a partir da matriz de coeficientes.

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Calcule a equação de valores próprios para o determinante da matriz recém-formado e defini-la igual a zero.

( 2- lambda ) (- 3 – lambda ) – ( -4 * 1)

-6 + lambda lambda + ^ 2 + 4

lambda lambda ^ 2 + – 2 = 0

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Resolva a equação para determinar os valores próprios

lambda lambda ^ 2 + – 2 = 0

(lambda – 1) (lambda + 2 ) = 0

lambda1 = 1 .; lambda2 = -2

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Use os valores próprios e da matriz de valores próprios para determinar os autovetores

. ( 2 – lambda ) * x1 – 4 * x2 = 0

x1 = 4×2; autovetor é [4 , 1] para lambda = 1

4×1 = 4×2; autovetor é [1 , 1] para lambda = -2

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Escreva a solução geral, utilizando os valores e vectores próprios . Para este exemplo , a solução é , sob a forma de y = e ^ ( lambda * t ) e uma vez que esta é a solução geral , constantes arbitrárias , que são uma consequência da integração são introduzidos .

Y1 = 4 * c1 * e ^ t + c2 * e ^ ( – 2t )

y2 = c1 * e ^ t + c2 * e ^ ( – 2t )

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Use as condições iniciais ou de contorno para obter valores para as constantes arbitrárias . Este exemplo é um problema condição inicial . As condições iniciais são y1 (0) = 3 e y2 (0 ) = 0

y1 = 4 * c1 * e ^ 0 + c2 * e ^ ( – 2 * 0) = 4 * c1 + c2 = 3

y2 = c1 * e ^ 0 + c2 * e ^ ( – 2 * 0) = c1 + c2 = 0

4 * c1 = 3 – c2

c1 = c2

4 * ( – c2 ) = 3 – c2; c2 = -1

c1 = – ( – 1 ); c1 = 1

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Escrever a solução particular , substituindo os valores das constantes de volta para a solução geral :

y1 = 4e ^ t – e ^ ( – 2t )

y2 = e ^ t – e ^ ( – 2t )