Como provar uma conjectura Com Infinite Solutions
Provando algo verdadeiro para um número infinito de situações coloca alguns problemas óbvios : Como você verificar todos esses casos ? Como você sabe que há um caso que você nunca pensou ? Se você está falando de números , como é que a sua prova aplicar-se a um número muito, muito grande ? Infinito é, literalmente, inimaginavelmente grande , e as pessoas antigas hesitou em fazer qualquer pronunciamento para coisas como ” para todos os números ” ou ” para todos os triângulos. ” Matemáticos modernos desenvolveram uma técnica de prova especialmente projetado para provar coisas sobre conjuntos infinitos . A técnica é chamada de prova por indução . Instruções
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Defina a prova por encontrar um ” caso base ” e um ” passo indutivo. ” A idéia básica é encontrar um pequeno número para o qual a proposição é verdadeira e , em seguida, encontrar uma declaração que garante que, se a proposição é verdadeira para um número que é verdadeiro para o próximo número mais alto. Por exemplo, suponha que você está tentando provar que a soma dos números de 1 a n é igual a n (n + 1) /2. É, certamente, uma declaração sobre um conjunto infinito de coisas — todos os números. O caso base é para n é igual a um número pequeno. Por exemplo n = 1 O passo indutivo é “se esta afirmação é verdadeira para n também é verdade para n + 1”
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Encontre o caso base, e provar que é verdade . Por exemplo, se você está tentando provar que a soma dos números de 1 a n é n (n + 1/2 , primeiro você prová-lo para um pequeno número como n = 2 Se N = 2 a declaração torna-se ” o soma de todos os números de 1 a 2 é ( 2 ) ( ( 2 ) + 1 ) /2 . ” Esta declaração é ” 1 + = 2 ( 2 x 3 ) /2 “, que é verdadeira .
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Estado e provar o passo indutivo. Se você está tentando provar que a soma dos números de 1 a n é n (n + 1) /2 , o passo indutivo é “se a soma do os números entre 1 e n é n ( n + 1 ) /2 , em seguida, a soma dos números de 1 a ( n + 1 ) é ( n + 1 ) ( ( n + 1 ) + 1 ) /2 . ” Note-se que o soma dos números de 1 a ( n + 1 ) é n ( n + 1 ) /2 + ( n + 1 ) e ( n + 1 ) ( ( n + 1 ) + 1 ) /2 = ( n + 1 ) ( n + 2 ) /2 = ( ( n + 1 ) n + ( n + 1 ) 2 ) /2 = n ( n + 1 ) /2 + ( n + 1 ) , de modo a proposição é comprovada .
