Como alterar a variável de integração

Integração por substituição é uma técnica para resolução de problemas em cálculo integral . Basicamente, envolve mudar a variável de integração – geralmente a partir de x para u ou v Embora a integração por substituição é desnecessária para os problemas mais simples, como integrar x ao quadrado , por exemplo, é a única boa maneira de resolver problemas mais complexos. Veja como ele funciona. Instruções

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Use a regra da cadeia para derivadas ( a derivada de f ( g ( x) ) = f ‘( g ( x)) * g’ (x), ou derivado das vezes fora derivado do interior ) . Integração por substituição é um pouco como a regra da cadeia em sentido inverso.

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Identificar f ‘( g ( x)) e g ‘ (x) na função que você tem que integrar. Em outras palavras , olhar para a função que você precisa para integrar um pouco diferente. Por exemplo, se a sua função é a seguinte:

∫ (10 x ^ 4) /( 20 + 2 x ^ 5 ) dx

Observe que 10 x ^ 4 é a derivada de 20 + 2x ^ 5 .

Neste tipo de relação , criar uma nova variável chamada u e configurá-lo igual à parte cuja derivada aparece em outros lugares na função. Neste exemplo, então, u = 20 + 2x ^ 5

Tome a função a seguir , por exemplo: .

∫ -2 E ^ – x dx

Dizer que u = – x , uma vez que apesar de -2 não é a derivada de x, que é perto . Multiplique o derivado de – x por 2.

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Substitua u e u ‘ , que é a derivada de u, em sua equação no lugar das funções -x. No exemplo acima , por exemplo, nós mudaríamos nossa equação para se parecer com isso:

∫ u ‘ /u dx

O que acontece se u’ está fora por algum valor inteiro ? Nesse caso , ainda substituir em U e U ‘ , mas corrigir a equação dividindo ou multiplicando por esse valor inteiro , conforme necessário . Vamos olhar para o exemplo acima :

∫ -2 E ^ – x dx

Sabemos que u = – x , então u ‘ = -1 . Isso significa que -2 = u ‘ * 2 , de modo que quando substituímos vamos acabar com uma equação que se parece com isso :

∫ 2 u ‘ ( e ^ u ) dx

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Note que u’ dx e juntos fazem du e reescrever a equação de acordo. Nos dois exemplos acima , por exemplo , o resultado fica assim:

∫ 2 e ^ u du

∫ 1 /u du

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Calcule a integral usando as regras básicas de integração. Se você não se lembra de todos eles, olhar para o link na seção de Recursos abaixo; que contém uma tabela de integrais comuns. Nos problemas de exemplo , você teria os seguintes resultados:

∫ 2 e ^ u du = 2 e ^ u

∫ 1 /u du = ln u

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Substitua u do valor original de volta na equação no lugar de u. Nos exemplos, você iria acabar com o seguinte :

2 e ^ u = 2 e ^ – x

ln u = ln ( 20 + 2x ^ 5)

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-se que sua resposta , tendo o derivado para ter certeza que se parece com a equação original que você tinha quando começou o problema.