Como provar o volume do cone de Integração

No cálculo, geralmente segundo semestre, você pode estar aprendendo sobre como encontrar o volume de sólidos de rotação pela integração. Encontrando-se o volume de sólidos por integração pode ser um momento muito gratificante na sua educação matemática, porque este é o momento em que você finalmente descobrir onde fórmulas para volume vêm. No passado , pode ter rote – memorizado que o volume de um cone é pi * r ^ 2 * h , em que r é o raio da base e h é a altura de um cone . Agora que você sabe como integrar funções , você pode provar que isso é verdade com cálculo. Instruções

1

Desenhe a reta y = (r /h ) * x , no plano xy , onde r e h são constantes arbitrárias que representam o raio ea altura do cone. Esboçar o resultado de ter o segmento de linha de x = 0 e x = h rotativa e que a linha 360 graus em torno do eixo – x , o que é um cone .

2

desenhar linhas verticais através do cone de indicam que o cone está cortada em vários discos . Faça -se a área de uma versão infinitamente fina de um dos discos , o que seria um círculo . Você deve obter Area = pi * R ^ 2 , onde R é o raio do círculo ou disco específico.

3

Escrever um integrante que representa esta situação. Você precisa ir em uma direção x para acumular todas as suas fatias verticais em um cone , então escrever a integração em relação a x . A integração começa em 0 e termina às h , então coloque -os como seus terminais . A área de cada fatia é pi * R ^ 2 , para colocar isso como sua função. Coloque tudo isso junto e obter : .

S ( 0, h ) pi * R ^ 2 dx

onde S ( 0, h ) representa o símbolo integral com terminais 0 e h

4

Altere R em função de x para que possa integrar-se com relação a x. Desde R é sempre a mesma como y, o que equivale a (r /h) * x , substituto ( r /h) * x para R. Agora você deve ter:

S ( 0, h ) pi * ( (r /h) * x) ^ 2 dx

5

Integrar os integrantes S (0, h ) pi * ( (r /h ) * x) ^ 2 dx . Quadrado a função no interior para obter S ( 0, h ) pi * (r ^ 2 /h ^ 2) * x ^ 2 dx . Usando a regra de energia, mudar a x ^ 2 para (1/3) * x ^ 3 , em seguida, escrever todas as constantes em frente . Está obter ( 1/3 ) * pi * ( r ^ 2 /h ^ 2 ) * x ^ 3 avaliada de 0 a h , que é ( 1/3 ) * pi * ( R ^ 2 * ^ 3 h /h ^ 2 ) – . 0 simplifique a expressão , e que tem ( 1/3 ) * pi * r ^ 2 * h , que é a mesma que a fórmula para o volume de um cone