Problemas de otimização e Soluções em Calculus

O nome do cálculo vem da palavra latina para uma pequena pedra usada para contagem. Cálculo tem muitas aplicações na matemática e ciência e um desses aplicativos é para resolver problemas de otimização. Nós conseguimos isso usando cálculo diferencial para encontrar o máximo de uma função , o que geralmente é o ponto de otimização. O derivado

cálculo, o derivado de uma simples função de um determinado ponto pode ser considerado como o declive de uma linha tangente a essa função naquele ponto . Nós encontramos o derivado de uma função por o processo de diferenciação . Para uma função simples como f ( x ) = x ^ um , a primeira derivada é dada por f ( x ) = a ( x ^ (a – 1 ) ) . Esta primeira derivada pode ser diferenciada de novo usando o mesmo processo para dar um segundo derivado da função . Ambas as primeiras e segundas derivadas são necessárias para resolver problemas de otimização.

Maxima e Minima

Para uma função que produz um enredo curva com máximos e mínimos finito , os máximos ou mínimos de trama que aparece como picos e vales . No topo exacto de um pico ou fundo de um vale , a linha tangente será perfeitamente na horizontal e por isso irão ter um declive de zero. Assim, os valores máximos ou mínimos de uma função irá ocorrer a esses pontos onde o derivado é igual a zero. Para encontrar os máximos e mínimos de uma função, tudo que é necessário é ter sua primeira derivada , definir a derivada a zero, em seguida, resolver a equação resultante.

Finding Maxima e Minima

a primeira derivada só encontra pontos que são máximos ou mínimos , mas não faz distinção entre os dois. No entanto , como uma função passa por um máximo , o ritmo de mudança da inclinação da sua linha tangente é negativa , de modo que a segunda derivada da função a um máximo será negativo . Da mesma forma, a segunda derivada será positiva , no mínimo.

Otimização Problemas

A maioria dos problemas de otimização descrever uma situação física que exige otimização. Condições ideais são encontrados por primeiro traduzir a situação em uma função , em seguida, encontrar o valor em que essa função tem um máximo . Para encontrar o máximo , a primeira derivada da função é feita , ajustado para zero e resolvido . Para garantir o valor resultante dá um resultado máximo (em oposição a um mínimo ) , a segunda derivada da função é levado e examinado para garantir que ele é negativo.

Um exemplo de otimização

Um agricultor tem um pomar de 50 árvores de maçã, cada um dos quais produzem 800 maçãs por ano. Se ele planta mais árvores , ele vai ter maçãs extras daquelas árvores, mas cada árvore no pomar acima de 50 reduz as maçãs por planta por 10. Quantas árvores adicionais devem ser plantadas para obter o máximo possível de maçãs? Se x é o número de árvores adicionais , o total de maçãs por ano é f ( x ) = ( 50 + x ) ( 800 – 10x) = 40.000 + 300x – 10x ^ 2 . A primeira derivada desta função é f ‘( x) = 300 – 20x , assim que o valor ideal de x ocorreria quando 300 – . . 20x = 0 Resolvendo para x dá 15 como uma dupla verificação , a segunda derivada é f’ ‘ ( x ) = -20 , o que é negativo; assim , este é um máximo . Então, o agricultor deve plantar mais 15 árvores para obter a colheita ideal maçã.