Como encontrar o centro de massa de um Parabola

Encontrar o centro de massa de uma parábola é uma forma abreviada de dizer encontrar o centro de massa de uma seção parabólica de um objeto com densidade uniforme . Por conveniência , esta secção parabólica é geralmente colocado sobre um plano xy , de modo que o seu eixo de simetria encontra-se no eixo y e o seu vértice se encontra na origem . Devido à simetria, você já sabe que a coordenada x será 0 ; você precisa encontrar a coordenada y . Você encontrar o centro de massa na direção y , usando as YCM fórmula = (1 /M) dm S y, onde YCM é a coordenada y do centro de massa , M é a massa total do objeto e S representa o sinal de integral e dm é a derivada em relação à massa . Você deve saber como integrar a ver esses problemas. Instruções
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Escreva a função y = kx ^ 2 para descrever a parábola. Encontre k usando as informações sobre a altura eo raio da seção parabólica. Reescreva a função com este novo valor substituído em k para

Exemplo: .

Encontre o centro de massa de uma tigela corte uniforme em uma seção parabólica. A altura da taça é de 0,1 m e o seu raio é de 0,1 m .

( 0.1 , 0.1 ), é um ponto na bacia . Ligue para 0,1 x e 0,1 por y para resolver para k.

0,1 = k (0,1) ^ 2

0,1 = k * 0,01

k = 10

y = 10x ^ 2
2

Altere y ( x) x (y) , reorganizando a equação até que x é , por si só , no lado esquerdo . Isso é porque você está integrando mais de y, no sentido vertical , de modo que você precisa saber as dimensões horizontais de cada fatia em termos de x . Isto é o mesmo que dA, o derivado com respeito à área

Exemplo : .

Y = 10x ^ 2

0.1y = x ^ 2

x = + e - sqrt ( 0.1y )

Porque a equação se divide em duas partes idênticas , reescrevê-la como :

x = 2 * sqrt ( 0.1y )

dA = 2 * sqrt ( 0.1y ) dy
3

Configure o integral para a coordenada y . Porque você teve fatias de zona com uma densidade uniforme, a dm pode ser reescrita como D * dA, onde D é a densidade, e dA = 2 * sqrt ( 0.1y ) dy

Exemplo: .

YCM = (1 /M) S y dm

YCM = (1 /M) 2D * S y * sqrt ( 0.1y ) dy

Os limites de integração são 0 e 0,1 ( a altura da seção).
4

Reescreva M, a massa , enquanto parte integrante, usando as mesmas informações como para a integral anterior, mas deixando de fora o extra * y .

Exemplo:

M = 2D * S sqrt ( 0.1y ) dy

os limites de integração são 0 e 0,1 ( a altura da seção)
. 5

Faça uma relação dos dois integrais para ter em conta a 1 /M. resolver por integração

Exemplo : .

YCM = 2D * S * y sqrt ( 0.1y ) dy /2D * S sqrt ( 0.1y ) dy

sqrt ( 0,1) é uma constante e pode ser trazido de fora da integral, por isso cancela , assim como o 2 eo D.

y * sqrt (y ) = y ^ 1 * y ^ 0,5 = y ^ 1.5

YCM = S ^ y 1,5 dy /S ^ y 0,5 dy

YCM = 0.4y ^ 2,5 /( 2/3) y ^ 1,5 = 0.6y

Avaliar 0-0,1 :

YCM = 0,06-0 = 0,06