Como encontrar o volume da Integração Sólidos

Se você olhar para uma garrafa de refrigerante de vidro , pode parecer impossível de usar a matemática para descobrir o quanto de líquido que pode conter. A garrafa não é um simples cilindro . Seus lados curva suavemente dentro e para fora , fazendo uma forma mais complicada. Mas as aparências podem ser enganadoras . Lidar com curvas – mesmo as complicadas – é exatamente o que o cálculo é bom em fazer . Contanto que você pode encontrar uma equação que descreve a curva e se você sabe como executar uma técnica de cálculo chamado de integração , é fácil de encontrar o volume de uma forma tridimensional cheio de curvas . Instruções

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Imagina cortar o objeto que você gostaria de encontrar o volume de linha reta no meio , fazendo uma seção transversal. Olhe para um semestre deste seção transversal. Para a técnica de trabalhar , a borda desta metade precisa ser uma linha reta ou uma curva. Por exemplo, se você cortar uma esfera ao meio , uma metade da seção transversal seria metade de um círculo ou semicírculo . Se você cortar um cone no meio , uma metade de sua seção transversal seria uma linha reta.

2

Escolha a equação da linha ou curva que você encontrou na Etapa 1. Para ilustrar, uso uma linha reta básica de y = x . Esta é a secção transversal de um cone que tem um ângulo de 90 graus na sua ponta .

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encontrar os limites da integral . Geralmente , estes irão ser zero e a altura da forma . Se o cone a partir do Passo 2 tem uma altura de 5 , então os limites da integral seria 0 e 5 .

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Esquadrar equação . Para o cone, se tornaria x x ^ 2 .

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Tome a integral da equação quadrado e multiplique por pi. Isto muda a integração de ser a soma das áreas de muitas rectângulos finos para que a soma dos volumes de muitos discos finos em que a função é o raio do disco e dx é a sua largura . O exemplo é agora pi vezes o integrante de x ^ 2 de 0 a 5 .

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Calcule a integral . A antiderivada de x ^ 2 é ( 1/3) x ^ 3 , então a integral é pi vezes (1/3) 5 ^ 3 menos 0 , o que simplifica a (125 /3) vezes pi, ou cerca de 130,9 .