Como se livrar de arctan

expressões trigonométricas pode ser desagradável. Por isso, é muito ruim que eles surgem mais e mais nas soluções para os problemas que não têm nada a ver com geometria. A tangente inversa , ou arctan , é um bom exemplo . O arctan mostra-se em todos os tipos de problemas para lidar com a população , o estresse mecânico, a propulsão de foguetes — o arctan parece estar em toda parte . No entanto, uma expansão da série para o arco tangente que foi descoberto algumas centenas de anos atrás pode vir a calhar hoje. Instruções

1 A derivada de o arco tangente é um bom, expressão algébrica limpo, a fim de aproveitar isso quando você pode .

Substitua todas as expressões que contêm o derivado do arco tangente . Se o arctan aparece como um derivado , como em d /dx ( arctan (ax ) ) , você pode facilmente substituir , porque a derivada da arctan é 1 /(1 + x ^ 2).

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Substitua o arctan por sua expansão série infinita , descoberta por James Gregory no século 17

arctan (x) = x – . x ^ 3 /3 + x ^ 5/5 – x ^ 7/7 + x ^ 9/9 – ….

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determinar a precisão necessária do problema, e cortou a série infinita no ponto onde que a precisão seja excedido. Ou seja, continuar a adicionar termos da série até um termo é menor do que a sua precisão desejada . Por exemplo, se a precisão de 1 por cento é aceitável para um problema no qual x = 0,74 , você iria continuar a acrescentar termos da expansão até um termo é menor do que 1 por cento de 0,74 . O quinto termo , x ^ 9/9 é igual a 0,00739 . Dividindo isso por 0,74 resulta em uma resposta menor do que 0,001 . Cada termo adicional será menor e você pode ignorá-los e alcançar a precisão desejada de 1 por cento.