Propriedades de uma binomial Coeficiente

Um coeficiente binomial, geralmente escrito como dois números empilhados um sobre o outro e entre parênteses, também pode ser escrito como ” NCK “. É o número de formas de escolher os itens “k” de um conjunto de itens de “n” . Por exemplo, o número de maneiras de escolher cinco cartas de um baralho de 52 é 52C5 . Este é lido como ” 52 escolher 5 . ” O coeficiente binomial é igual a n ! /( N- k ) ! K ! onde ” ! ” representa a função fatorial. O fatorial de um número inteiro positivo é o produto do referido número e todos os números inteiros mais pequenos , por exemplo , 5 ! = 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 120; n e k devem estar inteiros não negativos. Coeficientes binomial que são iguais a 1

NC0 = 1 onde n é qualquer inteiro positivo. Isto significa que existe uma maneira de escolher sem objectos a partir de um conjunto de objectos de qualquer tamanho , por exemplo , 5C0 = 5 ! /5 ! ( 5-5 ) ! = 120/120 = 1.

NCN = 1. Há uma maneira de escolher todos os objetos em um conjunto de qualquer tamanho . Ou seja, só há uma maneira de escolher todos os itens , o que é para escolher todos os itens.

Nenhum outro coeficiente binomial é igual a 1 , por exemplo, 4C4 = 4 ! /( 4-4) 0 ! = 24/24 = 1.

Você pode substituir ( nk) para k

NCK = nC ( nk) , por exemplo, 5C3 = 5 ! /3 ! ( 5-3 ) ! = 120/6 * 2 = 10 . Aqui, n = 5 e k = 3 . Substituindo nk para k dá 5C2 , que é igual a 5 ! /( 5-3 ) ! 2 ! = 120 /2 * 6 = 10. Isso faz sentido . Suponha que você tem 5 amigos e você escolher 3 a convidar para jantar. Você poderia facilmente ter escolhido quais 2 não ter convidados para o jantar.

O binômio coeficientes são em Triângulo de Pascal

Uma maneira de formar o triângulo de Pacal é começar com um 1 na primeira linha , dois 1s na linha seguinte , e , para cada linha de sucesso , acrescentando o número imediatamente superior eo número acima e à esquerda para obter um novo número. As primeiras linhas são ( ver Recursos para a formatação adequada do triângulo ) :

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

as linhas do triângulo são os coeficientes binomiais . Por exemplo, a última linha mostrada acima dá 4C0 = 1, 4C1 = 4, 4C2 = 6, 4C3 e 4C4 = 4 = 1. Triângulo

de Pascal , em homenagem a Blaise Pascal , matemático francês, tem muitos interessantes propriedades . Uma delas é que , se você somar os números em cada linha , você começa a seqüência de Fibonacci .

Obtendo 2 ^ k A partir dos coeficientes binomial

NC0 + + nC1 NC2 + …. NCN = 2 ^ n , por exemplo , 4C0 4C1 + + + 4C2 4C3 4C4 + = 1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 16 = 2 ^ 4 . Uma maneira de pensar isso é imaginar que você está ” escolhendo” um número de cabeças a partir de uma série de lançamentos de moeda , de modo que 4C0 significaria ” sem cabeça em quatro lançamentos . ” Há duas maneiras de uma moeda pode cair em cada lance, por isso há 2 ^ n maneiras que uma moeda pode cair em n lançamentos . Além disso, você pode obter qualquer número de cabeças, de não vai para todas as cabeças , para que a soma dos coeficientes binomial é igual a 2 ^ n .