Como calcular Combinações &Permutas

Suponha que você tenha n tipos de itens , e você deseja selecionar uma coleção de r deles . Podemos querer esses itens em alguma ordem particular. Chamamos esses conjuntos de itens permutações . Se a ordem não importa, nós chamamos o conjunto de combinações de cobrança. Para ambas as combinações e permutações , você pode considerar o caso em que você escolher alguns dos n tipos mais do que uma vez , que é chamado ‘ com a repetição ” , ou o caso em que você escolher cada tipo de uma única vez, o que é chamado de’ sem repetição ‘ . O objetivo é ser capaz de contar o número de combinações ou as permutações possíveis em um determinado situation.Orderings e fatoriais

A função fatorial é muitas vezes usado para calcular combinações e permutações . N! significa N x ( N – 1 ) … × × 2 × 1 . Por exemplo , 5 ! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120 . O número de formas de encomendar um conjunto de itens é um fatorial. Tome as três letras a, b ​​e c . Você tem três opções para a primeira letra , dois para o segundo e apenas um para o terceiro. Em outras palavras , um total de 3 × 2 × 1 = 6 ordenações . Em geral , existem n ! . maneiras de ordenar n itens

Permutações com Repetição

Suponha que você tem três quartos que você vai pintar , e cada um será pintada uma das cinco cores : vermelho ( r ) , verde ( g) e azul ( b ) , amarelo ( Y ) ou laranja ( o) . Você pode escolher cada cor como muitas vezes como você gosta. Você tem cinco cores para escolher para o primeiro quarto, cinco para o segundo e cinco no terceiro . Isto dá um total de 5 × 5 × 5 = 125 possibilidades . Em geral , o número de maneiras de escolher um grupo de itens de r em uma determinada ordem a partir de escolhas n repetíveis é n ^ r.

Permutações sem repetição

Agora, suponha que cada quarto vai ser uma cor diferente. Você pode escolher entre cinco cores para o primeiro quarto, quatro para o segundo e apenas três para o terceiro. Isso dá 5 × 4 × 3 = 60, que só acontece de ser 5 ! /2 ! . Em geral, o número de maneiras independentes para selecionar itens de r em uma determinada ordem a partir de escolhas não podem ser repetidos n é n! /(N- r) ! .

Combinações sem repetição

Em seguida, esquecer que quarto é que a cor. Basta escolher três cores independentes para o esquema de cores. A ordem não importa aqui , por isso, (vermelho, verde, azul) é o mesmo que ( vermelho, azul, verde). Para qualquer escolha de três cores existem 3! maneiras que você pode encomendá-los . Assim, você reduz o número de permutações de 3! para obter 5 ! /(2 ! × 3! ) = 10 . Em geral, você pode escolher um grupo de itens de r em qualquer ordem de uma seleção de n escolhas não podem ser repetidos em n! /[ (n- r) ! × r ! maneiras ] .

combinações com repetição

Finalmente, você precisa criar um esquema de cores em que você pode usar qualquer cor quantas vezes quiser. Um código de contabilidade inteligente ajuda a esta tarefa de contagem. Use três Xs para representar os quartos. Sua lista de cores é representada por ‘ rgbyo ‘ . Misture o Xs em sua lista de cores, e associar cada X com a primeira cor para a esquerda dele. Por exemplo, rgXXbyXo significa que a primeira sala é verde , o segundo é verde eo terceiro é amarelo. Um X deve ter pelo menos uma cor para a esquerda, de forma que há cinco vagas disponíveis para o primeiro X. Como a lista agora inclui um X , há seis vagas disponíveis para o segundo X e sete slots disponíveis para o terceiro X. tudo, há 5 × 6 × 7 = 7! /4! maneiras de escrever o código . No entanto, a ordem dos quartos é arbitrária , então há realmente apenas 7! /(4 ! × 3!) Arranjos únicos. Em geral, você pode escolher os itens de r em qualquer ordem de escolhas n repetíveis em (n + r- 1)! /[ ( N- 1)! × r !] Maneiras.