Definição de Análise Numérica

Análise numérica é um ramo da matemática aplicada preocupados em encontrar técnicas eficientes para aproximar soluções exatas matemática e problemas do computador. Considerando matemática pura está preocupada com o estabelecimento da existência e unicidade de soluções para os problemas , análise numérica está preocupado em encontrar aproximações para os valores exatos que estão perto o suficiente para ser usado em situações do mundo real. A raiz quadrada de 2 , por exemplo, é uma solução para a equação x ^ 2 – . 2 = 0 Na análise numérica , no entanto, você vai estudar técnicas para aproximar a raiz quadrada de 2 Computer aritméticos

números reais podem. geralmente ser apenas aproximada em um computador, que é a principal ferramenta de análise numérica . Por isso, é de preocupação central quanto de erro é gerada nessas aproximações.

A principal ferramenta de análise numérica é um computador . A questão central é como números como pi ou a raiz quadrada de 3 , cujos valores exata normalmente requerem quantidades infinitas dos dígitos , são representados no computador. Não é possível para ser mais exato , já que não há memória suficiente para representar dígitos infinitos . Portanto , os números são cortados depois de um certo número de dígitos ou arredondado . Estudos de análise numérica como controlar os erros que podem ser propagados e amplificados por um ou outro método.

Erros

Pequenos erros no cálculo pode resultar em grandes erros no resultado. Em análise numérica , as técnicas são desenvolvidas para controlar o erro. Processos

infinitas devem ser aproximadas no mundo real por uns finitos. Pense no problema de representar a raiz quadrada de 2. Se a precisão não é um problema, um pode fazer. Mas 1.4 será melhor. Melhor ainda é 1,41 e ainda mais precisa é 1,414. Podemos continuar o processo indefinidamente , cada vez chegando mais perto do valor real da raiz quadrada de 2. Mas não há tempo suficiente , nem memória em todos os computadores do universo para obtê-lo exatamente . Então, vamos parar em algum lugar e decidir que alguma representação , digamos, 1,414213562373 é perto o suficiente para o valor real a ser o que queremos dizer com a raiz quadrada de 2. Naturalmente, isso significa que haverá algum erro inerente em nossos cálculos . O erro resultante de parar um processo infinito , em algum momento é chamado de ” erro de truncamento ” e controlar e entender que é uma questão central na análise numérica .

Raízes do polinômio

processos iterativos , como os usados ​​para calcular fractais são importantes na análise numérica .

Uma das principais aplicações da análise numérica é aproximar as raízes de polinômios quando soluções exatas não pode ser encontrado. Isso geralmente é feito por iteração – isto é escolher uma primeira aproximação (muitas vezes um palpite ) e aplicação de uma fórmula . O valor resultante é colocado através da mesma fórmula eo processo continua até que o valor obtido após a iteração mais recente está dentro da tolerância especificada do valor exato . Um processo iterativo importante estudado em análise numérica , por exemplo, é o método de Newton para aproximar raízes.

Numérica Quadratura

Um dos temas de análise numérica é a aproximação da área sob curvas como parábolas e catenárias . Este é o Gateway Arch em St. Louis é um exemplo de uma catenária achatada .

No cálculo, você aprende a calcular a área sob as curvas no plano , encontrando uma quantidade importante chamado de ” anti- derivada. ” Os problemas no seu livro são cuidadosamente escolhidos para que o anti- derivado pode ser encontrado. Mas no mundo real, este anti- derivado misteriosa nem sempre existe ou é impraticável para encontrar . Em análise numérica que você aprende para aproximar a área sob as curvas , mesmo quando o anti- derivada não existe. Isto é conseguido usando trapézios ou rectangular ou até mesmo mais geral formas para estimar porções da área e , em seguida, adicionando -se -lhes . O processo de estimar tais áreas é um tópico importante na análise numérica e é chamado de quadratura numérica.

Álgebra Linear

análise numérica , você estuda o processo de resolução sistemas de equações lineares em grande detalhe e considerar diferentes estratégias para lidar com erros de arredondamento que resultam em problemas de aritmética computador. O número de passos necessários para as técnicas elementares de álgebra linear , utilizando matrizes são calculados e comparados com alternativas para determinar o que seria melhor para usar. Outro tópico importante é encontrar a melhor linha que se encaixa uma coleção de dados , também chamado de o problema dos mínimos quadrados.

Equações Diferenciais

Em análise numérica , você estuda técnicas para encontrar soluções aproximadas a equação que rege o movimento de um pêndulo .

Em nível superior ou pós-graduação cursos de matemática , os alunos passam um tempo considerável aproximação de soluções para equações diferenciais . Estas são as equações envolvendo derivativos primeira e de ordem superior e os seus poderes. Um derivado é a taxa de variação de uma variável com respeito ao outro . Um exemplo de um derivado é a velocidade de um carro e a taxa de mudança da sua posição em relação ao tempo . Equações diferenciais pode ser extremamente difícil de resolver e pode não se prestam a exigir soluções. Mas a análise numérica dá um meio de aproximar a solução para qualquer grau de precisão.