Como usar o método de Fermat para encontrar a área sob uma curva

Cálculo nos permite resolver facilmente alguns problemas que estão longe de ser fácil usando apenas geometria e álgebra. Exemplos incluem encontrar mínimos e máximos de uma função , encontrando a tangente de uma curva em um ponto e procurando a área sob a curva . Antes de cálculo, alguns dos melhores matemáticos do mundo , incluindo Fermat , Wallis e Descartes , desenvolveu técnicas para resolver estes problemas . A técnica de fermat para determinar a área sob a curva é um exemplo de como a resolução destes problemas conduziram ao desenvolvimento de cálculo . Instruções

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Desenhar uma série de retângulos abaixo da curva , cobrindo a área que você deseja encontrar . Os retângulos definidos no eixo X ea altura de cada retângulo é determinado pela curva que você está usando. Em um ponto Xp no eixo X , a altura do retângulo é o valor que você ganha se você ligar Xp para a função e resolver . Por exemplo , se estiver a calcular a área sob a curva Y = X + 1 ^ 2 entre X = 1 e X = 10 , a altura do rectângulo no ponto X = Y = 5 5 ^ 2 + 1 = 26 .

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Adicionar -se as áreas de todos os retângulos para aproximar a área sob a curva . Quanto mais fino os retângulos , mais precisa sua estimativa será, porque os topos dos retângulos não correspondem exatamente a curva . Por exemplo, se a curva é constantemente diminuindo ao longo do intervalo alvo, ea curva intercepta o retângulo no canto direito , o retângulo está totalmente sob a curva ea aproximação da área será baixo . Por outro lado, as aproximações são, por vezes elevado.

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Veja o que acontece quando a largura dos retângulos vai para zero. Fermat desenvolveu uma expressão algébrica para a soma das áreas dos retângulos . Se a largura dos retângulos , na verdade, eram de zero a área sob sob a curva foi a soma de um número infinito de zeros – um conceito confuso na melhor das hipóteses . Se olharmos para o limite desse processo, no entanto, podemos chegar a uma resposta realista. Por exemplo, olhar para o que acontece com Y = (X ^ 2 – 1) /(x – 1) quando X se aproxima mais e mais perto de 1 No momento em que X = 1 , Y é indefinido , mas você pode ver, através da verificação alguns valores próximos de X , que quando x tende a 1 , as abordagens Y 2