Problemas no Cálculo das Variações

Apesar de cálculo pode parecer esotérica e teórica , na verdade é um dos campos mais práticos de matemática. Em particular, o cálculo das variações é usado para calcular as forças , minimizar os custos , os foguetes de design e equipamentos de controle industrial. Os métodos são relativamente simples — pelo menos para certas classes de problemas — mas até mesmo os métodos mais complexos são mais poderosos do que parecem. O Problema Primal

O principal exemplo freqüentemente citado de um problema no cálculo das variações é afirmado no Problema da rainha Dido . A rainha mítico foi dada a capacidade de governar qualquer terra que pudesse cobrir com a pele de uma vaca. Ela pegou o couro e corte-o em tiras finas , amarrá-los juntos para fazer um longo loop. Seu problema era tomar esse ciclo e usá-lo para descrever o maior reino possível. Isso é um problema no cálculo de variações .

Desenvolvendo Ferramentas

No final de 1700, Isaac Newton definir sobre o problema de projetar um corpo que teria resistência mínima quando voando pelo ar . Esta é a marca de problemas variacionais . Há uma quantidade de ar — — resistência que depende de um outro conjunto de parâmetros — a forma da superfície . A ideia é encontrar um conjunto de parâmetros que minimiza ou maximiza a quantidade . O primeiro passo é o de expressar a quantidade a ser minimizada como uma função dos parâmetros do problema . Essa primeira etapa exige que você aplicar o seu conhecimento do problema; então você pode aplicar as técnicas de cálculo das variações .

A Variational problema simples

eficiente colocar para fora um campo é um problema no cálculo das variações .

Um fazendeiro é trazendo algumas ovelhas que ele quer manter separado do resto de seus animais. Ele tem um canal de irrigação em linha reta que vai usar como um lado de um gabinete, e ele tem um quilômetro de cerca para o restante. Ele quer cercar o maior pasto possível. Como ele deveria colocar para fora sua cerca ?

Primeiro, você aplicar o seu conhecimento de fundo para expressar a quantidade a ser maximizada. A área é igual ao comprimento multiplicado pela largura da área fechada . Além disso , o comprimento de + 2, multiplicado pela largura igual a um quilómetro. Isso leva à equação :

area = largura – 2 multiplicado pela largura ^ 2

Agora, a expressão está pronto para você aplicar técnicas de cálculo das variações

otimização simples

a forma mais simples de otimização é o de este problema. A quantidade a ser maximizada é uma expressão de uma única variável , e tudo que você precisa fazer é encontrar um máximo. O processo é simples de levar a derivada da quantidade a ser maximizada com relação à variável . . . Neste caso , o derivado de a área em relação à largura

d ( área ) /d ( largura ) = 1-4 multiplicado pela largura

Definir que igual a zero; isso vai identificar um ponto de inflexão — um lugar onde a função original muda de direção . Definir o derivado deste problema igual a zero , você acha que a largura é igual a 1/4 de um quilômetro.

Identificar Maxima e Minima

O processo descrito no parágrafo anterior identifica um ponto de inflexão da curva da quantidade a ser maximizado , mas ainda não tem distinguido a partir de um máximo de um mínimo de um ” joelho ” na curva . Outro teste é necessário . Pegue a segunda derivada da curva . Se for negativo, no ponto em que a primeira derivada é zero , a curva é máxima . Se a segunda derivada for positiva ali , em seguida, a curva tem um mínimo . Se a segunda derivada é zero , então não há nem um máximo ou mínimo da curva original nesse ponto.

Para o problema exemplo, a segunda derivada é -4 — menos que zero — que meios que a área é maximizado quando a largura é de 1/4 de um quilómetro . Só para acabar com o problema, se a largura é de 1/4 km, o comprimento é de 1/2 km, ea área é de 1/8 km ^ 2 .

Um breve Introduções

Há dezenas , se não centenas, de livros sobre cálculo das variações . O exemplo aqui representa o tipo mais simples de problema. Outros problemas que podem ser resolvidos com cálculo das variações incluem coisas tais como : encontrar o pacote de 1 galão , que utiliza a menor quantidade de material; encontrar a luz caminho leva através de uma lente; determinar a quantidade certa de inventário para manter a mão para minimizar os custos totais; concepção de forma a inserir na frente de um motor a jato para fazer a entrada de ar mais suave possível . Esses exemplos , é claro, são representativos de um campo muito maior de problemas de acesso às técnicas de cálculo das variações .