Como aproximar uma raiz quadrada com um produto de Praças

Alguns números , como quatro , têm raízes quadradas exatas. Outros números , como cinco , têm raízes quadradas que não podem ser calculados exatamente – eles só podem ser aproximados . ( Há, naturalmente, não há maneira de aproximar raízes quadradas com um produto de quadrados , mas você pode fazê -lo usando uma sucessão de quadrados. ) A maioria dos métodos de aproximação são baseadas em um método que Issac Newton desenvolveu . Este método começa com limites superiores e inferiores e passa através de um algoritmo que move os limites mais juntos . Cada passo, através do algoritmo reduz a distância entre os limites superior e inferior em metade , e a raiz quadrada do número é garantidamente entre estes limites . Você pode continuar até que o erro é tão pequeno quanto você precisa. Instruções

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Definir os limites superiores e inferiores. Por exemplo, se você quer aproximar a raiz quadrada de 5, você poderia começar com limites superior e inferior de 0 e 100. A raiz quadrada de 5 é claramente maior do que 0 e claramente inferior a 100, mas seria economizar alguns passos se você escolher mais de limites razoáveis ​​, como dois e três. Dois é um limite inferior porque 2 X 2 = 4, e três é um limite superior , porque 3 X 3 = 9. A raiz quadrada de 5 deve estar entre 2 e 3 .

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Escolha o número a meio caminho entre os limites para o candidato atual. Quadratura do candidato e comparar os resultados com o número que você está aproximando . Se for baixo , torna-se o novo limite inferior. Se é alta , torna-se o novo limite superior. Por exemplo, se você está aproximando a raiz quadrada de 5 e começando com os limites de 2 e 4, o primeiro candidato é 2.5. O candidato ao quadrado é 2,5 x 2,5 = 6,25, que é elevado devido 6.25 é maior do que 5 . Isto significa que o candidato de 2,5 é o novo limite superior . Após um passo do algoritmo o limite inferior é de 2,0 eo limite superior é de 2,5 .

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Continuar o algoritmo até que o erro é tão pequeno quanto você precisa que ele seja. Por exemplo, se você precisa do erro para ser inferior a 0,00001 , continuar o algoritmo até que o limite superior menos o limite inferior é menor que 0,00001 . O candidato nessa fase é entre os limites superior e inferior e por isso é a raiz quadrada você está aproximando . Isso significa que o candidato está dentro 0,00001 da raiz quadrada .