Como simplificar raízes quadradas (radicais )

Uma tarefa comum em álgebra é simplificar raízes quadradas , ou o que são referidos em matemática mais tarde como radicais . Este artigo irá utilizar a notação sqrt (x) significa ” raiz quadrada de um número x . ” Às vezes, a tarefa de simplificação é muito fácil, mas às vezes requer o uso de uma fórmula especial , juntamente com o seu conhecimento de quadrados perfeitos e fatores. Por exemplo , isso seria o caso de um radical como sqrt ( 80 ) .

Isso tudo é muito importante porque se um radical não é simplificada , é tipicamente considerado errado, e você vai receber ou não ou parcial de crédito para a sua resposta em um exame. Este artigo mostra os passos simples para executar esta tarefa.

Este artigo pressupõe que você esteja familiarizado com os conceitos básicos de quadratura e ” enraizamento quadrado. ” Consulte a seção de Recursos para obter mais informações sobre esses tópicos. Instruções

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É fácil simplificar um radical que é um quadrado perfeito , como sqrt (81). Podemos usar uma calculadora , ou podemos usar nosso conhecimento de quadrados perfeitos para obter uma resposta de 9, desde 9 ² é igual a 9 . Devemos lembrar que -9 é também uma solução para o problema, embora pudesse ser descartado no contexto de um problema de geometria envolvendo comprimento, ou se apenas foram convidados a fornecer a raiz quadrada principal .

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Simplificar um não- perfeito quadrado radical como sqrt ( 20) envolve um pouco mais de trabalho. Nós poderíamos usar uma calculadora para obter uma aproximação decimal longo da resposta, mas não é isso que se entende por simplificar o radical. O que estamos sendo convidados a fazer , em essência, é quebrar o radical para além de tal forma que ficamos com o produto de um número inteiro vezes a raiz quadrada de um número primo.

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para fazer isso , é essencial saber a propriedade particular dos radicais acima indicados . Em termos mais simples , a equação diz-nos que se pode dividir o radical de um produto para o produto dos radicais . Para aplicar a fórmula para o sqrt ( 20 ) exemplo de cima , que iria quebrar 20 em factores de 4 e 5 . Temos então sqrt ( 4 vezes 5 ) , que pode ser dividido em sqrt ( 4 ) vezes sqrt ( 5 ) . Sqrt ( 4) o que sabemos é 2 , então a nossa resposta final simplificada é 2 vezes sqrt ( 5). Essa é a resposta que seria de se esperar em um exame. Observe como não podemos quebrar sqrt (5), a partir de 5 é um número primo , cujo único fatores são 1 e ele próprio.

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Às vezes os alunos perguntam se eles poderiam ter quebrado 20 em outros fatores, tais como 2 e 10 . A resposta é que nós poderíamos, mas então teríamos sqrt ( 2 vezes 10), que iria quebrar em sqrt ( 2 ) vezes sqrt (10). Uma vez que nenhum deles é um quadrado perfeito , não vamos acabar com um componente inteiro em nossa resposta, que é o que precisamos ter.

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Vamos voltar ao exemplo de sqrt ( 80 ) na introdução. 80 pode ser dividido em muitos pares de fatores , como a 2 e 40, 4 e 20 , 8 e 10 , etc O que precisamos é olhar para o maior fator quadrado perfeito de 80 , e usar isso . 4 é um factor quadrado perfeito de 80 , mas há um maior : 16. Isso significa que deve usar o 16 e 5 como o nosso par fator . Temos, agora, sqrt ( 16 vezes 5) = sqrt ( 16) vezes sqrt ( 5) = 4 vezes sqrt ( 5), que é a nossa resposta .

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No exemplo acima , se tivéssemos usado 4 e 20 como nosso par fator , teríamos muito trabalho extra para fazer. Teríamos sqrt ( 4 ) vezes sqrt (20). Isso torna-se 2 vezes sqrt (20) , mas , em seguida, teríamos que quebrar sqrt ( 20) , como fizemos antes. Ao utilizar o maior fator quadrado perfeito , 16, temos a nossa resposta em menos etapas

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Um último exemplo : . Sqrt ( 200). Há muitos fatores , muitos dos quais são quadrados perfeitos . Queremos que o maior fator quadrado perfeito , que é 100 . Isso nos dá sqrt (100) vezes sqrt (2) o que equivale a 10 vezes sqrt ( 2).

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Note-se que não temos nenhuma maneira de reduzindo a raiz quadrada de um número que seja primo , ou o produto de dois números primos . Por exemplo , não podemos simplificar sqrt ( 13 ) . É um número primo sem aperfeiçoa fatores quadrados. Nós apenas temos que deixar a nossa resposta como é .

Outro exemplo seria sqrt ( 6). 6 não é primo. Podemos dividi-lo em sqrt ( 2 ) vezes sqrt ( 3 ), mas nenhum deles é um quadrado perfeito, por isso não vai simplificar . Queremos apenas deixar a nossa resposta como sqrt ( 6). Ele não tem nenhum perfeitas fatores quadrados.

Um último exemplo é sqrt (77). 77 não é primo , pois tem outros fatores de 1 e si mesmo, mas esses outros fatores são os dois primos. Uma vez que não tem nenhum perfeitas fatores quadrados, nós apenas temos que deixar a resposta sozinho, e é correto fazê-lo.

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estudantes Álgebra deve se certificar de que eles estão confortáveis ​​com esse processo . Ele vem com bastante freqüência em matemática , e não há nenhuma razão para fazer um problema perfeitamente, mas , em seguida, perder o crédito parcial ou total , só porque você não simplificar a sua resposta raiz quadrada .